641 Εισαγωγή στα Συμβολικά Μαθηματικά
Να κατασκευάσετε ένα σημειωματάριο με τα ακόλουθα, να εκτελέσετε τις εντολές και να παρατηρήσεττα αποτελέσματα.

2+2
2-2
3 5
4/8
3.14159 + 2.3456
2/5 + 3.0/8
3^10
3.14159^10
(3 + 2 I)^10
Pi
N[Pi]
N[Pi, 100]
Sqrt[2]
Sqrt[2.0]
N[Sqrt[2], 20]
Sin[2]
Sin[2.0]
E^(Pi I)
N[E^Pi > Pi^E]
1 + 2 3
(1 + 2) 3
1/2 - 3
1/(2 - 3)

3^10000
%^(1/10000)

Round[N[23^(2/3)]]
Ceiling[N[23^(2/3)]]

{N[Pi], N[E], N[I], N[Degree], N[GoldenRatio], N[EulerGamma], N[Catalan]}
N[Sin[60 Degree]]

D[x^2, x]
D[x^2 y^3, x, y]
D[x^2, {x, 2}]
D[x^2 y^3, {x, 2}, {y, 3}]

Integrate[x^2, x]
Integrate[x^2 y^3, x, y]
Integrate[Sin[x], {x, 0, Pi}]
Integrate[Sin[x] y, {x, 0, 2 Pi}, {y, 0, 2}]
Integrate[Sin[x] y, {x, 0, Pi}, {y, 0, x}]
Integrate[Sin[x] y, {x, 0, y}, {y, 0, 2}]

Series[Exp[-x] Sin[2 x], {x, Pi I, 6}]

Table[i^3, {i, 1, 10}]
m = Table[1/(i + j), {i, 1, 3}, {j, 1, 3}]
m.m // TableForm
m.Inverse[m] // TableForm

{{a, b}, {c, d}} + {{1, 2}, {3, 4}}
{{a, b}, {c, d}} - {{1, 2}, {3, 4}}
{{a, b}, {c, d}} {{1, 2}, {3, 4}}
{{a, b}, {c, d}}/{{1, 2}, {3, 4}}

Eigenvalues[{{1, 1, 3}, {-1, 2, -1}, {1, 0, -1}}]
Eigenvalues[{{a, b, 3}, {-b, 2, -a}, {b, 0, -a}}]
Eigenvalues[{{a, b, 3}, {-b, 2, -a}, {b, 0, -a}}] /. {a -> 1, 
  b -> 1}
Eigenvalues[{{a, b, 3}, {-b, 2, -a}, {b, 0, -a}}] /. {a -> 1, 
   b -> 1} // N

{Re[2 + 3 I], Im[2 + 3 I], Conjugate[2 + 3 I]}
{Re[a + b I], Im[a + b I], Conjugate[a + b I]}

IntegerDigits[987654321]
BaseForm[17/33, 2]
Table[{N[Pi, n], Cos[N[Pi, n]]}, {n, 1, 5}] // TableForm

Simplify[Sin[x]^2 + 2 Cos[x]^2]
FindRoot[Sin[x]/x == 0, {x, 2}]
FindRoot[x Cos[x] == 1, {x, 10}]
{RandomInteger[{0, 10}],RandomReal[]}
Table[RandomReal[{1, 2}], {20}]

ColumnForm[NSolve[{2 x y + 3 x + 4 y == 5, 6 x^2 - 7 x - 8 y == 9}]]
Eliminate[{x^2 + 2 a x + a^2 y == 0, y^2 - 2 b y + a b x == 0}, a]
{ToRules[%]}

Solve[{x^2 + 2 a x + a^2 y == 0, y^2 - 2 b y + a b x == 0}, {x, y}]
LinearSolve[{{1, 4, 3}, {4, 2, 3}, {3, 3, 1}}, {1, 2, 3}]
Solve[{x^2 + y^2 == 1, x^3 + y^3 == 2}, {x, y}]
N[%]
NSolve[{x^2 + y^2 == 1, x^3 + y^3 == 2}, {x, y}]

Rationalize[N[Pi], 0]
Table[Rationalize[N[Pi], (0.1)^n], {n, 20}]
Union[Table[Rationalize[N[Pi], (0.1)^n], {n, 20}]]

Table[3 i - 2 j, {i, 3}, {j, 4}]
RowReduce[Table[3 i - 2 j, {i, 3}, {j, 4}]]

DSolve[{y'[x] + 2 y[x] == Cos[x], y[0] == 0}, y[x], x]

sol=NDSolve[{y1''[t] == 2 (y2[t] - 2 y1[t]), y2''[t] == 2 (y1[t] - 2 y2[t]), y1[0] == 1, y2[0] == 1, y1'[0] == Sqrt[6], y2'[0] == -Sqrt[6]}, {y1, y2}, {t, 0, 10}]
Plot[y1[t] /. sol, {t, 0, 10}]
Plot[y2[t] /. sol, {t, 0, 10}]
ParametricPlot[{y1[t], y2[t]} /. sol, {t, 0, 10}]

Plot3D[Sin[x y], {x, 0, Pi}, {y, 0, Pi}]

{$Version, $TimeUnit, $RecursionLimit}
?N
??Solve

Ασκήσεις

1. 
i) Παραγοντοποιήσατε (Factor) το 1 - x^10.
ii) Κατασκευάσατε ένα πίνακα με παράγοντες τα πολυώνυμα 1 - x^n, n = 1, …,10 (Table).

2. Ελέγξατε ότι τα παρακάτω ισχύουν.(Simplify)

(((cot t+csc t))^2)=((cos t+1)/(1-cos t))
(((t (cos^3)+(sin^3) t))/(cos t+sin t))=1-(sin t) (cos t)

3. Υπολογίσατε τα παρακάτω ολοκληρώματα.
Μετά διαφορίσατε τα αποτελέσματα για να βεβαιωθείτε ότι είναι σωστά.(Simplify, Integrate, D, Factor, Together)

∫(((x^2)+5)/((x^5)+(x^4)-x-1))dx      
∫((Sqrt[(x^2)-1])/(x^6))dx

4. Nα παράγετε το γράφημα της κωνικής τομής 9 x^2 + 4 x y + 6 y^2 = 1.

5. Να βρείτε όλες τις τιμές του n μεταξύ 0 και 5 έτσι ώστε να μπορεί η Μathematica να βρεί την τιμή του παρακάτω ολοκληρώματος.(Φτιάξτε ένα πίνακα - Table).
Ελέγξατε τις απαντήσεις. Αφαιρέσατε την υπό ολοκλήρωση συνάρτηση από την παράγωγο του ολοκληρώματος και χρησιμοποιήσατε Factor.

∫((((1-(1/u)))^(4/3))/(u^n))du

6. Να βρείτε την τιμή του διπλού παρακάτω ολοκληρώματος.

(∫_0^3)(∫_0^y)x (Sqrt[(y^3)+16])dxdy

7. Έστω

expr1=((6 (x^5)+(x^3))/(2 (1-(x^3))))

i) Διαφορίσατε (D) την expr1.
ii) Απλοποιήσατε (Simplify) το αποτέλεσμα i).
iii) Ολοκληρώσατε (Integrate) το ii).
iv) Δείξατε ότι η απάντηση στο iii) είναι σωστή.

8. Έστω

A = (({{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}}))

Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα και να τα παρουσιάσετε σε ένα πίνακα με μία στήλη για τις ιδιοτιμές και μία τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα. Κάντε μία αναζήτηση για συναρτήσεις με τους χαρακτήρες Eigen.

9. Παραγοντοποιήσατε 236789456789432678. 
10.Να δημιουργήσετε μία λίστα με τα ψηφία του παραπάνω ακεραίου.

Άλλες Ασκήσεις

1. Να λυθεί η εξίσωση.

(x^4)+((17 (x^3))/14)-((31 (x^2))/7)+((37 x)/14)-(3/7)=0

2. Να λυθεί το σύστημα 
x^2 y + y = 2
y - 4 x = 8

3. Να λυθεί ως προς x, y, z και ως προς a, b, c.
a x + b y - z = 3 b
x - 4 y - 5 c z = 0 
x + a y - b z = c

4. Να λυθούν με την DSolve. Ελέγξατε την λύση.
i) y' = y tan(x)
ii) y' - y tan(x) = sec(x)
iii) y' - 2 x y = 1
iv) x^2 y' + 3 x y = sin(x)/x
v) y' = x^2/((x^3 + 1) y)
vi) y' = x y^2 + y^2 + x + 1
vii) y'' - 5 y' + 6 y = 2 e^x

5. Ομοίως για τα παρακάτω.
i) - x^2 y' + y^2 + 3 x y + x^2 = 0
ii) (x^2 e^y + sin(x) + 2) y' + 2 x e^y + y cos(x) = 0
iii) x^2 y' + x y (x y + 4) + 2 = 0
iv) x y' + a x y^2 + 2 y + b x = 0
v) y'' + 4 y' + 4 y = E^(-2 x)/x^2
vi) y'' + 2 y' - 3 y = 0 (Φτιάξτε γράφημα λύσης)
vii) y'' - 2 y' + y = 0 (Φτιάξτε γράφημα λύσης)
viii) y'' + 5 y' = 0 (Φτιάξτε γράφημα λύσης)